为君持酒劝斜阳

且向花间留晚照

曲线

形状

形状是物体的一种属性，往往可以根据形状信息识别物体。图像的边缘点连接起来就是物体二位平面的投影，即物体的轮廓。但是轮廓的表示比较消耗资源，通常使用数学模型比如曲线来表示。

曲线的几何属性

长度：

\[\int^{t2}_{t1}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\]

曲线切方向：

\[\phi = {(x(t),y(t))' \over |(x(t),y(t))'|}\]

曲率：

\[\Theta = (x(t),y(t))''\]

曲线的离散化

曲线长度：

\[s = \sum^n_{i=2}\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}\]

曲率切向量（k斜率）：

\[\Phi = \arctan{ {y_{i+k} - y_i} \over x_{i+k} - x_i }\]

曲率（k曲率）:

\[\Theta = \theta_l - \theta_r\]

曲线表示

边缘点序列
- 直接用边缘点序列表示边缘
  - 链码
  - \(\psi-S\)图
  - 图表示
  - 斜率密度函数

曲线拟合

给定一系列边缘点，找出一条曲线的函数表达式，使曲线接近所有边缘点以描述物体轮廓

直线段近似
- 直线
- 分线段
二次曲线
- 圆弧
- 圆锥
样条曲线（分段多项式）
- 重要属性：连接处光滑
- 三次样条：通过每个点
- B样条：不必过每个点

曲线拟合通过最小二乘法来逼近，利用均方差MSE作为损失函数

直线方程：

\[\rho = xcos\theta + ysin\theta\]

目标函数：

\[d^2 = \sum_i(x_icos\theta+y_isin\theta-\rho)^2\]

求解：

\[min_{\rho,\theta}d^2\]

即：

\[{\partial d^2 \over \theta} = 0\] \[{\partial d^2 \over \rho} = 0\]

PS：对于误差正态分布的点击，最小二乘可以得到最佳估计，但不符合正态分布的就不敏感了

分线段拟合时采用Dauglas-Pecuker算法，即对每一条离散曲线的首末点虚连一条线，计算每个点到直线的距离，并将最大距离与阈值进行比较，如果小于阈值，舍去全部点；如果大于，则将最大距离点保留，用其将曲线分割为两部分，再对每个部分重复这个步骤。

Hough变换

Hough变换是一种基于投票原理的参数估计方法，也是一种重要的的形状检测技术。

y = mx + c —-> c = -xm + y

将（x，y）空间变换为（c，m）空间，为避免垂直带来的问题，转化为极坐标系

特征检测

在图像中搜索特征时，角点是个不错的选择，角点是两条边缘线的接合点，并且大量存在于人造物体中。

对于角点，在任意方向上移动，窗口内灰度值都会发生巨大变化，对于图像I(x,y)平移u、v之后的自相似性如下：

\[E(u,v) = \sum_{x,y}w(x,y)(I(x,y)-I(x+u,y+v))^2\]

如果u、v很小，则：

\[I(x+u,y+v) \approx I(x,y) + uI_x(x,y) + vI_y(x,y)\]

那么：

\[E(x,y) = \sum_{x,y}w(x,y)( uI_x(x,y) + vI_y(x,y))^2\] \[= [u,v]W(x,y)\left[ \begin{matrix} u \\\\ v \end{matrix} \right]\]

其中：

\[M(x,y) = \left[ \begin{matrix} \sum_{x,y}w(x,y)I_x^2 & \sum_{x,y}w(x,y)I_xI_y \\\\ \sum_{x,y}w(x,y)I_xI_y & \sum_{x,y}w(x,y)I_y^2 \end{matrix} \right]\] \[= \left[ \begin{matrix} A & B \\\\ B & C \end{matrix} \right]\]

因此：

\[E(x,y) = Au^2 + 2Buv + Cv^2\]

某种意义上，这是一个椭圆：
其中\(\lambda_1,\lambda_2\)是M(x,y)的特征值，检测角点时却并不需要计算，我们计算如下的响应值来判断角点：

\[R=det M - \alpha(traceM)^2\]

其中\(detM\)是M的行列式

\[det M = \lambda_1\lambda_2=AC-B^2\] \[traceM=\lambda_1+\lambda_2=A+C\] \[R = AC - B^2 - \alpha(A+C)^2\]

void Harris(cv::Mat &img)
{
    cv::Mat res(img);
    for (int i = 0; i < img.rows-1; i++)
    {
        for (int j = 0; j < img.cols-1; j++)
        {
            //std::cout << i << " " << j << std::endl;
            uchar gx = img.at<uchar>(i+1,j)-img.at<uchar>(i,j);
            uchar gy = img.at<uchar>(i,j+1)-img.at<uchar>(i,j);
            uchar gx2 = gx * gx;
            uchar gy2 = gy * gy;
            uchar gxgy = gx * gy;
            uchar a = gx2;//Guassint(gx2) * gx2;
            uchar c = gy2;//Guassint(gy2) * gy2;
            uchar b = gxgy;//Guassint(gxgy) * gxgy;
            uchar r = a*c - b*b - 0.05*(a + c)*(a + c);
            //std::cout << static_cast<double>(r) << std::endl;
            res.at<uchar>(i,j) = static_cast<double>(r) < 255 ? static_cast<uchar>(255) : static_cast<uchar>(0);
            //if (res.at<uchar>(i,j) == static_cast<uchar>(0)) cv::circle(res, cv::Point(i,j), 5, 0);

        }
    }
    cv::erode(res, res, cv::Mat());
    cv::imwrite("../Pics/Harris.jpg", res);
};

手撸了一个非常简陋的Harris角点检测算法，效果确实不好，试试OpenCV自带的

void CornerHarris(const cv::Mat &img)
{
    cv::Mat res;
    cv::cornerHarris(img,res,3,3,0.01);
    double threshold = 0.0001;
    cv::threshold(res,res,threshold,255,cv::THRESH_BINARY_INV);
    cv::imwrite("../Pics/CornerHarris.jpg", res);
};

效果确实比我手撸的好

计算机视觉（二）

形状与特征

曲线

形状

曲线的几何属性

曲线的离散化

曲线表示

曲线拟合

Hough变换

特征检测

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